Question

13．已知函數(shù)f（x）=cos²x+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移m個單位長度后得到的圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，求正實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），根據正弦函數(shù)的性質即可解得函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；
（2）根據函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得所得函數(shù)的解析式為y=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$），再由題意結合正弦函數(shù)的對稱性可得2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，結合m＞0，由此求得m的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sinxcosx+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴當2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，即：x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z時，f（x）_max=2．
（2）：將函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象向右平移m個單位，
可得函數(shù)y=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再根據得到的圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，可得2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
即解得：m=$\frac{π}{3}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈z，
再根據m＞0，可得m的最小值為$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基本知識的考查．