Question

13．已知函數(shù)f（x）=cos²x+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱，求正實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可解得函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得所得函數(shù)的解析式為y=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$），再由題意結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，結(jié)合m＞0，由此求得m的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sinxcosx+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，即：x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z時(shí)，f（x）_max=2．
（2）：將函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象向右平移m個(gè)單位，
可得函數(shù)y=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再根據(jù)得到的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱，可得2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
即解得：m=$\frac{π}{3}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈z，
再根據(jù)m＞0，可得m的最小值為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基本知識(shí)的考查．