Question

14．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n•2^n-1，b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 由a_n=n•2^n-1，b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，可得b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n+1}}{n•{2}^{n-1}•（n+1）•{2}^{n}}$=$4[\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}]$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：∵a_n=n•2^n-1，b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n+1}}{n•{2}^{n-1}•（n+1）•{2}^{n}}$=$4[\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}]$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=4$[（\frac{1}{1×{2}^{0}}-\frac{1}{2×{2}^{1}}）$+$（\frac{1}{2×{2}^{1}}-\frac{1}{3×{2}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）]$
=4$（1-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．