Question

3．由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
（1）共可以組成多少個(gè)五位數(shù)？
（2）其中奇數(shù)有多少個(gè)？
（3）如果將所有的五位數(shù)按從小到大的順序排列，43125是第幾個(gè)數(shù)？說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用全排列，可得結(jié)論；
（2）由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)，第五位是有限制條件的元素，第五個(gè)數(shù)字必須從1、3、5中選出，其余四個(gè)位置可以用四個(gè)元素在四個(gè)位置進(jìn)行全排列；
（3）根據(jù)題意，先有排列數(shù)公式求出用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)，再分4種情況討論分析大于43125的數(shù)個(gè)數(shù)，由間接法分析可得答案．

解答 解：（1）由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共可以組成A₅⁵=120個(gè)五位數(shù)
（2）∵由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)，
∴第五個(gè)數(shù)字必須從1、3、5中選出，共有C₃¹種結(jié)果，
其余四個(gè)位置可以用四個(gè)元素在四個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有A₄⁴種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有C₃¹A₄⁴=72；
（3）根據(jù)題意，用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，有A₅⁵=120種情況，即一共有120個(gè)五位數(shù)，
再考慮大于43125的數(shù)，分為以下四類討論：
1、5在首位，將其他4個(gè)數(shù)字全排列即可，有A₄⁴=24個(gè)，
2、4在首位，5在千位，將其他3個(gè)數(shù)字全排列即可，有A₃³=6個(gè)，
3、4在首位，3在千位，5在百位，將其他2個(gè)數(shù)字全排列即可，有A₂²=2個(gè)，
4、43215，43251，43152，共3個(gè)
故不大于43251的五位數(shù)有120-（24+6+2-3）=85個(gè)，
即43125是第85項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合，簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理，解排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素．