Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-ln（x+1）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，若函數(shù)y=f（x）的圖象都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入函數(shù)f（x）的解析式，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的解析式，可求出切線斜率，進(jìn)而可得切線方程；
（2）由函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，可得$\frac{1}{2}$ax²+x-ln（x+1）≤0恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+x-ln（x+1），（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，利用導(dǎo)數(shù)法分類討論滿足g（x）_max≤0時(shí)實(shí)數(shù)a的范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2x-ln（x+1），
即有f（1）=$\frac{5}{2}$-ln2，
f′（x）=x+2-$\frac{1}{x+1}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
則在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（$\frac{5}{2}$-ln2）=$\frac{5}{2}$（x-1），
即為y=$\frac{5}{2}$x-ln2；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y-x≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
即為x∈[0，+∞）時(shí)，$\frac{1}{2}$ax²+x-ln（x+1）≤0恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+x-ln（x+1）（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
由g′（x）=ax+1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x（ax+a+1）}{x+1}$，
（i） 當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=$\frac{x}{x+1}$≥0，g（x）遞增，
故g（x）≥g（0）=0，不成立；
（ii） 當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=$\frac{x（ax+a+1）}{x+1}$=0，
∵x∈[0，+∞），
∴x=0或-$\frac{a+1}{a}$（舍去），在區(qū)間（0，+∞）上，g'（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）在[0，+∞）上無最大值，
當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，此時(shí)不滿足條件；
（iii） 當(dāng)a＜0時(shí)，由g′（x）=$\frac{x（ax+a+1）}{x+1}$，
∵x∈[0，+∞），若a+1≤0即a≤-1，
即有g(shù)′（x）≤0，則g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立；
若a+1＞0，則當(dāng)0＜x＜-$\frac{a+1}{a}$，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當(dāng)x＞-$\frac{a+1}{a}$，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=-$\frac{a+1}{a}$處取得極大值，且為最大值，
即有f（-$\frac{a+1}{a}$）=$\frac{1}{2}$a（-$\frac{a+1}{a}$）²+（-$\frac{a+1}{a}$）-ln（-$\frac{1}{a}$）
=$\frac{1}{2}$（a-$\frac{1}{a}$）-ln（-$\frac{1}{a}$）遞增，且大于0恒成立；
當(dāng)a≤-1時(shí)，g'（x）≤0，
故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，二元一次不等式組與平面區(qū)域，（1）的關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，（2）的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=ax²-x+2ln（x+1），（x≥0），滿足g（x）_max≤0．