Question

15．已知函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的局部對稱點．
（1）若a，b，c∈R，證明函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對稱點；
（2）是否存在常數(shù)m，使得函數(shù)f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3有局部對稱點？若存在，求出m的范圍，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義構(gòu)造方程，再判斷方程是否有解，問題得以解決．
（2）根據(jù)定義構(gòu)造方程4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，再利用換元法，設(shè)t=2^x+2^-x，方程變形為t²-2mt+2m²-8=0 在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)有解，再根據(jù)判別式求出m的范圍即可

解答 解：（1）證明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
代入f（-x）=-f（x） 得ax³+bx²+cx-b-ax³+bx²-cx-b=0得到關(guān)于x的方程2bx²-2b=0，b≠0時，x=±1
當(dāng)b=0，x∈R等式恒成立，
所以函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對稱點；
（2）∵f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3
∴f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，
由f（-x）=-f（x），∴4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3），
于是 4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0…（*）在R上有解，
令t=2^x+2^-x（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，
∴方程（*）變?yōu)閠²-2mt+2m²-8=0 在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)有解，需滿足條件：
$\left\{\begin{array}{l}△=4{m}^{2}-8（{m}^{2}-4）≥0\\ \frac{2m+\sqrt{4（8-{m}^{2}）}}{2}≥2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}\\ 1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
化簡得$1-\sqrt{3}$≤m≤2$\sqrt{2}$．

點評 本題依據(jù)新定義，考查了方程的解得問題以及參數(shù)的取值范圍，以及換元的思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．