Question

16．假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為$\frac{2}{3}$．現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完．設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求：
（1）X的概率分布；
（2）數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由已知得耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布．
（2）由X的概率分布能求出E（X）．

解答 解：（1）由已知得耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1，2，3，4．
當(dāng)X=1時(shí)，表示射擊一次，命中目標(biāo)，則P（X=1）=$\frac{2}{3}$；
當(dāng)X=2時(shí)，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標(biāo)，則P（X=2）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；…（2分）
當(dāng)X=3時(shí)，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，
則P（X=3）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{27}$；…（4分）
當(dāng)X=4時(shí)，表示射擊四次，前三次均未擊中，第四次擊中或四次均未擊中，
則P（X=4）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$+（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{27}$．

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{1}{27}$

X的概率分布為
…（6分）
（2）E（X）=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{2}{27}$+4×$\frac{1}{27}$=$\frac{40}{27}$．    …（10分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．