Question

8．已知圓M過(guò)E（1，-1），F(xiàn)（-1，1）兩點(diǎn)，且圓心在x+y-2=0上，
（1）求圓M的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（-2，2）的直線被圓M所截得得弦長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$，求該直線的方程；
（3）若P為直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P做圓M的切線，切點(diǎn)為A，B，求當(dāng)$\overrightarrow{|{PA}|}$的最小值，并求此時(shí)$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓M過(guò)E（1，-1），F(xiàn)（-1，1）兩點(diǎn)，且圓心在x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）求出圓心到直線的距離為1，分類(lèi)討論，即可求該直線的方程；
（3）由題意，$\overrightarrow{|{PA}|}$最小時(shí)，MP垂直于直線，此時(shí)|MP|=$\frac{|3+4+8|}{\sqrt{9+16}}$=3，$\overrightarrow{|{PA}|}$=$\sqrt{5}$，即可求此時(shí)$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值．

解答 解：（1）設(shè)圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：a=b=1，r=2，
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）圓的半徑為2，直線被圓M所截得得弦長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$，∴圓心到直線的距離為1．
直線的斜率不存在時(shí)，x=-2，圓心到直線的距離為3，不符合題意；
直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，
∴圓心到直線的距離為$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=0或-$\frac{3}{4}$，
∴直線的方程為y=2或3x+4y-2=0；
（3）由題意，$\overrightarrow{|{PA}|}$最小時(shí)，MP垂直于直線，此時(shí)|MP|=$\frac{|3+4+8|}{\sqrt{9+16}}$=3，∴$\overrightarrow{|{PA}|}$=$\sqrt{5}$，
sin∠APM=$\frac{2}{3}$，cos∠APM=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴cos∠APB=2cos²∠APM-1=$\frac{1}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定圓心與半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．