Question

8．某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為等邊三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則其外接球的表面積為（　�。�

• A． 5π
• B． $\frac{20}{3}π$
• C． 8π
• D． $\frac{28}{3}π$

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，根據(jù)三視圖的特點(diǎn)找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半徑．

解答 解：幾何體為三棱錐，作出直觀圖如圖所示，由三視圖可知定點(diǎn)A在底面的射影為CD的中點(diǎn)F，底面BCD為到腰直角三角形，BD⊥CD，
設(shè)外接球的球心O，E，M分別是△BCD，△ACD的外心，OE⊥平面BCD，OM⊥平面ACD，則E為BC中點(diǎn)，EC=$\sqrt{2}$，OE=FM=$\frac{AF}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．OC=R，
在△OEC中，由勾股定理得：${R^2}={（\sqrt{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）^2}$，解得R²=$\frac{7}{3}$，故${S_{球表}}=\frac{28π}{3}$
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和三視圖，棱錐與外接球的關(guān)系，作出直觀圖是解題關(guān)鍵．