Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²-x．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，證明：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）當x≥0時，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，令g（x）=e^x-x-1，求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得極小值和最小值，進而得到f（x）的導數(shù)非負，即可得證；
（2）當x≥0時，f（x）≥1恒成立，即為f（x）-1=e^x-x-ax²-1，令g（x）=e^x-x-ax²-1，求出導數(shù)，對a討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）證明：當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，
導數(shù)為f′（x）=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，導數(shù)為g′（x）=e^x-1，
當x＞0時，g（x）遞增；當x＜0時，g（x）遞減，
可得x=0處g（x）取得最小值0，
即有f′（x）≥0，
則f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）當x≥0時，f（x）≥1恒成立，
即為f（x）-1=e^x-x-ax²-1，
令g（x）=e^x-x-ax²-1，則g′（x）=e^x-2ax-1．
令h（x）=e^x-2ax-1，則h′（x）=e^x-2a，
若2a≤1，則當（0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
而h（x）≥0，從而當x≥0時，g′（x）≥0，即g（x）≥0．
若2a＞1，則當x∈（0，ln2a）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
而h（x）≤0，從而當x∈（0，lna）時，g′（x）＜0，即g（x）＜0．
所以不合題意，舍去．
綜合得a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的恒成立問題的解法，注意運用單調(diào)性解決，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．