Question

12．在△ABC中，兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，若a+b=cx，試確定實(shí)數(shù)x的取值范圍（　�。�

• A． $（{1，\sqrt{2}}]$
• B． $（{0，\sqrt{2}}]$
• C． $[{\sqrt{2}，2}）$
• D． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 由a+b=cx得，x=$\frac{a+b}{c}$，由正弦定理得$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°），由此能確定實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：由a+b=cx得，x=$\frac{a+b}{c}$，
由題意得在△ABC中，∠C=90°，則∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{sinA+sin（90°-A）}{sin90°}$
=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），
所以sin（A+45°）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即$\sqrt{2}$sin（A+45°）∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴$\frac{a+b}{c}$∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴x=$\frac{a+b}{c}$∈（1，$\sqrt{2}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．