Question

16．圓錐的軸截面SAB是邊長為4的正三角形（S為頂點(diǎn)），O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周），若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{2}{5}\sqrt{7}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 過M作MP₃⊥AM交AB于P₃，過P₃作P₁P₂⊥AB交圓錐底面圓周為P₁，P₂，則P點(diǎn)軌跡為線段P₁P₂．根據(jù)射影定理求出OP₃，再利用垂徑定理解出P₁P₂的長．

解答 解：過M作MP₃⊥AM交AB于P₃，過P₃作P₁P₂⊥AB交圓錐底面圓周為P₁，P₂，
則P₁P₂⊥平面AMP₃，∴AM⊥P₂P₁，即P點(diǎn)軌跡為線段P₁P₂．
∵△SAB是邊長為4的等邊三角形，∴AO=2，SO=2$\sqrt{3}$，∴OM=$\frac{1}{2}SO$=$\sqrt{3}$．
∵∠AMP₃=90°，∴OM²=AO•OP₃，解得OP₃=$\frac{3}{2}$．
∴P₁P₂=2$\sqrt{O{{P}_{1}}^{2}-O{{P}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的性質(zhì)與判斷，作出P的軌跡是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．