Question

1．已知四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)，Q為BC邊上的一點(diǎn)．
（I）若PQ∥面A₁ABB₁，求出PQ的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求證：AB₁⊥面PBC．

Answer 1

分析 （I）取AA₁的中點(diǎn)M，連接BM，PM，由P，M分別為D₁D，A₁A的中點(diǎn)，可得PM∥BC，由PQ∥面A₁ABB₁，可得PQ∥BM，可得PQ=BM，在Rt△BAM中，利用勾股定理即可解得PQ=BM的值．
（Ⅱ）先證明AA₁⊥BC，AB⊥BC，即可證明AB₁⊥BC，利用△ABM≌△A₁B₁A，可得：AB₁⊥BM，從而可判定AB₁⊥面PBC．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）取AA₁的中點(diǎn)M，連接BM，PM，
∵P，M分別為D₁D，A₁A的中點(diǎn)，
∴PM∥AD，∴PM∥BC，
∴PMBC四點(diǎn)共面，…2分
由PQ∥面A₁ABB₁，可得PQ∥BM，
∴PMBQ為平行四邊形，PQ=BM，…4分
在Rt△BAM中，BM=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$．
可得：PQ=BM=2$\sqrt{5}$．…6分
（Ⅱ）AA₁⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴AA₁⊥BC，
∵ABCD為正方形，
∴AB⊥BC，
∴BC⊥面AA₁BB₁，
∵AB₁?面AA₁BB₁，
∴AB₁⊥BC，…8分
通過(guò)△ABM≌△A₁B₁A，可得：AB₁⊥BM，…10分
∵BM∩BC=B，
∴AB₁⊥面PBC．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．屬于中檔題．