Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經(jīng)過點$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過橢圓C的右焦點F作垂直于x軸的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l：y=mx+n與橢圓C交于C，D兩點，與線段AB相交于一點（與A，B不重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當直線l與圓x²+y²=1相切時，四邊形ACBD的面積是否有最大值？若有，求出最大值及對應直線l的方程，若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；
（Ⅱ）由已知求出AB的長度，然后分m=0和m≠0討論，當m≠0時，由直線和圓相切得到m，n的關系，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出C，D的橫坐標，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四邊形ACBD的面積有最大值時的m，n的值，從而得到直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由已知得$|{AB}|=\sqrt{2}$，當 m=0時，不符合題意；
當m≠0時，由直線l與圓x²+y²=1相切，可得$\frac{|n|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=1$，即m²+1=n²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=mx+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y，可得$（{m^2}+\frac{1}{2}）{x^2}+2mnx+{n^2}-1=0$，
$△=4{m^2}{n^2}-4（{m^2}+\frac{1}{2}）（{n^2}-1）=2{m^2}＞0$，
${x_1}=\frac{{-2mn+\sqrt{2{m^2}}}}{{2{m^2}+1}}$，${x_2}=\frac{{-2mn-\sqrt{2{m^2}}}}{{2{m^2}+1}}$，
∴${S_{四邊形ABCD}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{x{\;}_1-{x_2}}|=\frac{2|m|}{{2{m^2}+1}}=\frac{2}{{2|m|+\frac{1}{|m|}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
當且僅當$m=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時上式等號成立，此時$n=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
∴對應的直線方程為$\sqrt{2}x+2y-\sqrt{6}=0$或$\sqrt{2}x-2y-\sqrt{6}=0$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，屬中檔題．