Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow$=（-$\sqrt{2}$cosx，$\frac{1}{2}$），設f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調遞減區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數(shù)的周期公式、單調性即可得出；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，再利用正弦函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=-$\sqrt{2}$sinxcosx-$\sqrt{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\sqrt{2}$×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得單調遞減區(qū)間為：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴函數(shù)f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值域為：[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的周期公式、單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．