Question

12．圓錐的底面半徑為5cm，高為12cm，當(dāng)它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為$\frac{30}{7}$時(shí)，圓錐的內(nèi)接圓柱全面積有最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)縱截面列出函數(shù)式子，S=2π（12-$\frac{12}{5}$r）r+2πr²=2π（12r-$\frac{7}{5}$r²），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：如圖，△SAB是圓錐的軸截面，其中SO=12，OB=5，
設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑O₁C=r，
∵△SOB∽△SO′C′，
∴SO′：O′C=SO：OB，
∴SO′=$\frac{12}{5}$•O′C=$\frac{12}{5}$r，
00′=12-$\frac{12}{5}$r，
∴圓柱的全面積S=2π（12-$\frac{12}{5}$r）r+2πr²=2π（12r-$\frac{7}{5}$r²），
∵當(dāng)r=$\frac{30}{7}$時(shí)，S取最大值，
故答案為：$\frac{30}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，相似三角形的性質(zhì)，圓柱的表面積公式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．