Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心為極坐標(biāo)：C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半徑r=$\sqrt{3}$．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P（0，1）且傾斜角α=$\frac{π}{6}$的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)C直角坐標(biāo)，從而求出圓C的直角坐標(biāo)方程，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$能求出得圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）求出直線l的參數(shù)方程，代入圓C，得${t}^{2}-\sqrt{3}t-2$=0，由此能求出|PA|²+|PB|²的值．

解答 解：（1）∵圓C的圓心為極坐標(biāo)：C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$x=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，y=$\sqrt{2}cos\frac{π}{4}$=1，∴點(diǎn)C直角坐標(biāo)C（1，1），
∵半徑r=$\sqrt{3}$，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=3，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0．…（5分）
（2）∵過(guò)點(diǎn)P（0，1）且傾斜角α=$\frac{π}{6}$的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，…（7分）
把直線l的參數(shù)方程代入圓C：（x-1）²+（y-1）²=3，
得（$\frac{\sqrt{3}}{2}t-1$）²+（$\frac{1}{2}t$）²=3，
整理，得${t}^{2}-\sqrt{3}t-2$=0，
${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{3}$，t₁t₂=-2，
∴|PA|²+|PB|²=${{|t}_{1}|}^{2}$+|t₂|²=（t₁+t₂）²-2t₁•t₂=7．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程和線段平方和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．