Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于$\frac{11a-2}{2a}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；
（2）可設(shè)x₁，x₂≠0，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，從而可以判斷出x₁，x₂∈（-∞，0），或x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)都有f（x₁）＜f（x₂），這樣便可得出f（x）的單調(diào)性；
（3）由（2）可知f（x）在[2，a]上單調(diào)遞增，從而可以求出f（x）在[2，a]上的最大、最小值，這樣根據(jù)條件即可建立關(guān)于a的不等式，解不等式便可得出a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
函數(shù)f（x）的定義域是{ x|x≠0，x∈R}；
又$f（-x）=-x-\frac{1}{-x}=-（x-\frac{1}{x}）=-f（x）$；
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂≠0，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-\frac{1}{{x}_{1}}）-（{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴x₁，x₂∈（0，+∞），或x₁，x₂∈（-∞，0）時(shí)，$1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）解：∵[2，a]⊆[0，+∞）；
∴函數(shù)f （x）在區(qū)間[2，a]上為增函數(shù)；
∴$f（x）_{max}=f（a）=a-\frac{1}{a}，f（x）_{min}=f（2）=\frac{3}{2}$；
由已知$a-\frac{1}{a}+\frac{3}{2}≥\frac{11a-2}{2a}$，解得：a≥4；
∴a的取值范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過(guò)程，反比例函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．