3.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD,M為PD的中點(diǎn),過(guò)A,B,M的平面記為α.
(1)平面α與四棱錐P-ABCD的面相交,交線圍成一個(gè)梯形,在圖中畫(huà)出這個(gè)梯形;(不必說(shuō)明畫(huà)法及理由)
(2)求證:AB⊥平面PBC;
(3)若CD=1,求三棱錐M-ACD的體積.

分析 (1)取PC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,AM,BN,則梯形MNBA即為要求的梯形;
(2)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得出AB⊥平面PBC;
(3)作△PBC的中線PE,則M到底面的距離為$\frac{1}{2}PE$,代入體積公式計(jì)算.

解答 解:(1)取PC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,AM,BN,則梯形MNBA為要求的梯形
(2)∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB⊥BC,AB?平面ABCD,
∴AB⊥平面PBC.
(3)∵PB=PC=BC=2CD=2,∴△PBC是等邊三角形,
過(guò)P作PE⊥BC,則PE⊥平面ABCD,且PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{3}$.
∴M到平面ACD的距離h=$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵S△ACD=$\frac{1}{2}×CD×BC$=1.
∴三棱錐M-ACD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•h$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面的作法,面面垂直的性質(zhì),棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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