Question

13．如圖，拋物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于點(diǎn)A（1，3），過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．則以下結(jié)論：
①無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；
②a=1；
③當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=4；
④2AB=3AC．
其中正確結(jié)論是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①④

Answer 1

分析 直接由y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1≥1＞0判斷①；把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y₁=a（x+2）²-3求出a值判斷②；
由x=0求得y₂，y₁作差后判斷③；由二次函數(shù)的對稱性求出B，C的坐標(biāo)，進(jìn)一步驗(yàn)證2AB=3AC判斷④．

解答 解：對于①，y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1≥1＞0，∴無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)正確；
對于②，∵拋物線y₁=a（x+2）²-3過點(diǎn)A（1，3），則3=a（1+2）²-3，解得$a=\frac{2}{3}$，②錯(cuò)誤；
對于③，y₁=$\frac{2}{3}$（x+2）²-3，y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=$\frac{11}{2}-$（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{35}{6}$，③錯(cuò)誤；
對于④，∵拋物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于點(diǎn)A（1，3），
∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，則2AB=3AC，④正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．