Question

3．已知直角三角形的兩直角邊長分別為2和4，求兩直角邊上的中線所夾的銳角的余弦值．

Answer 1

分析 作出圖形，由勾股定理及重心性質求出△BGD的三邊，再由余弦定理即可求得答案．

解答 解：如圖所示：BC=2，AC=4，
則BD=CD=1，CE=2，AD=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
BE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
令AD，BE交于點G，則：

GD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，GB=$\frac{2}{3}$BE=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
在△BGD中，cos∠BGD=$\frac{{GD}^{2}+{GB}^{2}-{BD}^{2}}{2GD•GB}$=$\frac{\frac{40}{9}}{\frac{136\sqrt{2}}{9}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{34}$

點評 該題考查余弦定理及其應用，考查三角形的重心性質，屬基礎題．