Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD為正方形，且PD=AB=1，G為△ABC的重心，則PG與底面所成的角θ滿足（　　）

• A． θ=$\frac{π}{4}$
• B． cosθ=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$
• C． tanθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出cosθ=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意得P（0，0，1），G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，0），
$\overrightarrow{PG}$=（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，-1$），
∵底面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），PG與底面所成的角θ，
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PG}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\frac{\sqrt{17}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{17}}{17}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．