Question

11．已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)F₂（1，0），A是圓F₁上的一動點(diǎn)，線段F₂A的垂直平分線交半徑F₁A于點(diǎn)P．
（Ⅰ）當(dāng)A在圓F₁上運(yùn)動時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+1與軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-2（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意P在線段F₂A的中垂線上，所以|PF₂|=|PA|，則|PF₂|+|PF₁|=|PA|+|PF₁|=|AF₁|=4＞|F₁F₂|，故軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，得x₁x₂+y₁y₂=-2，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，利用韋達(dá)定理，求直線l方程．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镻在線段F₂A的中垂線上，所以|PF₂|=|PA|，（1分）
所以|PF₂|+|PF₁|=|PA|+|PF₁|=|AF₁|=4＞|F₁F₂|，（2分）
所以軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，且$a=2，c=1，b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，（3分）
所以軌跡C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$，得x₁x₂+y₁y₂=-2，（5分）
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2，即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0?（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，（7分）
因?yàn)椤?64k²+32（3+4k²）＞0，（8分）
所以，有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}\end{array}\right.$（9分）
代入化簡得1-4k²=0，解得$k=±\frac{1}{2}$，（11分）
所以直線l方程為$y=±\frac{1}{2}x+1$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．