Question

19．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）•f（x+2）=13．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）若f（1）=2，求f（99）的值；
（3）若當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x，試求x∈[4，8]時(shí)函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由條件f（x）•f（x+2）=13，便可得到f（x）=$\frac{13}{f（x+2）}$，從而f（x+2）=$\frac{13}{f（x+4）}$，這樣即可得出f（x）=f（x+4），從而得到f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）的周期為4，將99寫成99=3+24•4，從而f（99）=f（3）=$\frac{13}{f（5）}$，而f（5）=f（1）=2，從而得出f（99）的值；
（3）設(shè)x∈[4，8]，求f（x）在該區(qū)間的解析式，需用上條件：x∈[0，2]時(shí)，f（x）=x，從而可考慮能否將x的所在區(qū)間[4，8]變到[0，2]：x-4∈[0，4]，這樣進(jìn)一步分成x-4∈[0，2]，；x-4∈[2，4]，x-4-2∈[0，2]，這樣根據(jù)f（x）的周期為4及其已知的條件即可得出f（x）在區(qū)間[4，8]上的解析式．

解答 解：（1）證明：f（x）•f（x+2）=13；
∴f（x）=$\frac{13}{f（x+2）}$=$\frac{13}{\frac{13}{f（x+4）}}$=f（x+4）；
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
（2）$f（99）=f（3+24•4）=f（3）=\frac{13}{f（5）}$=$\frac{13}{f（1+4）}=\frac{13}{f（1）}=\frac{13}{2}$；
（3）設(shè)x∈[4，8]，則x-4∈[0，4]；
①若x-4∈[0，2]，即x∈[4，6]，則：
f（x）=f（x-4）=x-4；
②若x-4∈（2，4]，即x∈（6，8]，則：
x-4-2∈（0，2]；
∴$f（x-6）=f（x-2）=f（x+2）=\frac{13}{f（x）}=x-6$；
∴$f（x）=\frac{13}{x-6}$；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x-4}&{x∈[4，6]}\\{\frac{13}{x-6}}&{x∈（6，8]}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 考查由條件f（x）=$\frac{13}{f（x+2）}$能得到f（x+2）=$\frac{13}{f（x+4）}$，周期函數(shù)的定義，以及根據(jù)周期函數(shù)的定義求函數(shù)值，掌握本題中將x所在區(qū)間[4，8]變到已知區(qū)間[0，2]上，從而求解析式的方法．