Question

9．△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$，則$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影為3．

Answer 1

分析 以O為原點建立平面直角坐標系，設A（2，0），根據(jù)條件作出圖形，找到B，C的位置，求出BC，AC的長度及夾角．

解答 解：以O為原點建立平面直角坐標系，設A（2，0），
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$，∴AO是以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的對角線，
∵OB=OC，∴四邊形ABOC是菱形，△AOC是等邊三角形，∴B（1，$\sqrt{3}$），C（1，-$\sqrt{3}$）．
∴BC=2$\sqrt{3}$，∠BCA=$\frac{1}{2}∠$ACO=30°．∴BC×cos∠BCA=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了平面向量在幾何中的應用，根據(jù)條件作出恰當?shù)膱D形是關鍵．