Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）求證：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若不等式f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0即可求得f（0）的值，令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（2）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號即可證得f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由此可以將不等式f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為k•2^x＜-2^x+4^x+2即4^2x-（1+k）2^x+2＞對任意x∈R恒成立，再通過換元進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時(shí)的恒成立的條件．

解答 解：（1）取x=y=0得，則f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
證明：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；    
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．           
（3）∵f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，
由f（k•2^x）+f（2^x-4^x-2）＜0得
f（k•2^x）＜-f（2^x-4^x-2）=f（-2^x+4^x+2）
∴k•2^x＜-2^x+4^x+2即2^2x-（1+k）2^x+2＞對任意x∈R恒成立，
令t=2^x＞0，問題等價(jià)于t²-（1+k）t+2＞0，
設(shè)f（t）=t²-（1+k）t+2，其對稱軸$x=\frac{k+1}{2}$
當(dāng)$\frac{k+1}{2}＜0$即k＜-1時(shí)，f（0）=2＞0，符合題意，
當(dāng)$\frac{k+1}{2}≥0$即k≥-1時(shí)，對任意t＞0，f（t）＞0恒成立，
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}≥0}\\{△={（1+k）}^{2}-8＜0}\end{array}\right.$解得-1≤k＜-1+2$\sqrt{2}$
綜上所述，當(dāng)k＜-1+2$\sqrt{2}$時(shí)，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性的判斷以及不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．