Question

7．（Ⅰ）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，復(fù)數(shù)z=1+ai滿足z²+z=1+bi，求a²+b²的值．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+2x-2）e^x（x∈R），求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，復(fù)數(shù)z=1+ai滿足z²+z=1+bi，
即（1+ai）²+1+ai=1+bi，
即1-a²+3ai=bi，
即1-a²=0，且b=3a，
則a²=1，b²=9a²=9
則a²+b²=1+9=10．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+2x-2）e^x（x∈R），
則f′（x）=（2x+2）e^x+（x²+2x-2）e^x=（x²+4x）e^x，
由f′（x）≤0得f′（x）=（x²+4x）e^x≤0，
即x²+4x≤0，
解得-4≤x≤0，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[-4，0]．

點評 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)復(fù)數(shù)方程以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．