Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點（2，a）到焦點F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）設不過原點O的直線l與該拋物線相交于點P、Q，直線OP、PQ、OQ的斜率滿足k_OP+k_PQ+k_OQ=0，且△OPQ的面積為$\sqrt{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中點（2，a）到焦點F的距離為3，可得$2+\frac{p}{2}=3$，解得p值，可得拋物線的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：x=ty+m，t≠0，m≠0，聯(lián)立拋物線方程$\left\{\begin{array}{l}x=ty+m，\;（t≠0，\;m≠0）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$并整理得：y²-4ty-4m=0，結(jié)合韋達定理，可得k_OP+k_PQ=-$\frac{1}{t}$，結(jié)合△OPQ的面積為$\sqrt{5}$，求出t值，可得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由條件：$2+\frac{p}{2}=3$，
∴p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x．             …（5分）
（Ⅱ）設直線l：x=ty+m，t≠0，m≠0，
聯(lián)立拋物線方程$\left\{\begin{array}{l}x=ty+m，\;（t≠0，\;m≠0）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$⇒y²-4ty-4m=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
則：$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4t\\{y_1}•{y_2}=-4m\end{array}\right.$，且△=16t²+16m＞0，即t²+m＞0，
∴${k_{OP}}+{k_{OQ}}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{4}{y_1}+\frac{4}{y_2}=\frac{{4（{y_1}+{y_2}）}}{{{y_1}{y_2}}}=-\frac{4t}{m}=-\frac{1}{t}$，
∴m=4t²，滿足△＞0，
又${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}•|m|•|{{y_2}-{y_1}}|=\frac{1}{2}•|m|•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=m\sqrt{5m}=\sqrt{5}$，
∴m=1，從而$t=±\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為：$x=±\frac{1}{2}y+1$．        …（15分）

點評 本題考查的知識點拋物線的簡單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．