Question

4．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（2）設(shè)g（x）=tx+$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，3]時，g（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上遞減．可由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷符號即可得到；
（2）由題意可得t＞-$\frac{x}{2x+1}$在x∈（$\frac{1}{2}$，3]時恒成立，再由函數(shù)f（x）的單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上遞減．
理由：f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{1}{（2x+1）^{2}}$＜0，
則函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上為減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，3]時，g（x）＞0恒成立，即為
t＞-$\frac{x}{2x+1}$在x∈（$\frac{1}{2}$，3]時恒成立，
由f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$在（$\frac{1}{2}$，3]遞減，可得
f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
即有t≥-$\frac{1}{4}$，
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．