Question

5．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0；
（1）若y=f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=4，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系，求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）因為ω＞0，根據(jù)題意有 $\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.⇒0＜ω≤\frac{3}{4}$…．（6分），
（2）f（x）=2sin（4x），$g（x）=2sin（4（x+\frac{π}{12}））+1=2sin（4x+\frac{π}{3}）+1$$g（x）=0⇒sin（4x+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}⇒x=\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{8}$或$x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{24}π，k∈Z$，
即g（x）的零點相離間隔依次為$\frac{π}{3}$和$\frac{π}{6}$，
故若y=g（x）在[a，b]上至少含有20個零點，則b-a的最小值為$10×\frac{π}{6}+9×\frac{π}{3}=\frac{14π}{3}$…（14分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點的應(yīng)用，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．