Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{sinθ}{co{s}^{2}θ}$．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）作斜率為1直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）對極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；
（II）求出直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義求出．

解答 解：（I）∵ρ=$\frac{sinθ}{co{s}^{2}θ}$，∴ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是x²=y，即y=x²．
（II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y=x²得t²-$\sqrt{2}t$-4=0．
∴t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4．
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{{|t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．