Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）y=f（x）的圖象可由y=sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？寫出你的變換過程．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡為y=Asin（ωx+Φ）+b的形式，即可得到答案．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∴由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[0，4]．
（2）由y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位可得函數(shù)y=sin2（x+$\frac{π}{12}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再把所得圖象上點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
再把所得圖象沿著y軸向上平移2個單位，可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2的圖象．

點評 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．