Question

16．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₂=3，a₃+a₆=11．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若${b_n}=2（{a_n}+\frac{1}{{{2^{a_n}}}}）$，其中n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{2{a}_{1}+7d=11}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=1．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2+（n-1）=n+1．
（Ⅱ）${b_n}=2（{a_n}+\frac{1}{{{2^{a_n}}}}）$=2$（n+1+\frac{1}{{2}^{n+1}}）$=2n+2+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（4+2n+2）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=n²+3n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．