Question

4．某廠家擬舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{{2（{x+1}）}}$（其中1≤x≤a，a＞1）．假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品t萬件還需（10+2t）萬元（不含促銷費用），生產的銷售價格定為$（{4+\frac{20}{t}}）$萬元/萬件．
（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析 （1）由題意知，利潤$y=t（{4+\frac{20}{t}}）-（10+2t）-x$，由銷售量t萬件滿足$t=5-\frac{9}{{2（{x+1}）}}$代入得該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調性，可求廠家的利潤最大．

解答 解：（1）由題意知，利潤$y=t（{4+\frac{20}{t}}）-（10+2t）-x$
由銷售量t萬件滿足$t=5-\frac{9}{{2（{x+1}）}}$代入得：$y=20-（\frac{9}{x+1}+x），（0≤x≤a）$…（5分）
（2）$y=21-（\frac{9}{x+1}+x+1）≤21-6=15$，當且僅當$\frac{9}{x+1}=x+1$，即x=2時，取等號
當a≥2時，促銷費用投入2萬元，廠家的利潤最大；        …（8分）
當1＜a＜2時，$y'=\frac{-（x-2）（x+4）}{{{{（x+1）}^2}}}＞0$，
故$y=20-（\frac{1}{x+1}+x）$在0≤x≤a上單調遞增；
所以在0≤x≤a時，函數(shù)有最大值，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大；綜上所述，當a≥2時，促銷費用投入2萬元，廠家的利潤最大；
當1＜a＜2時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查基本不等式的運用，確定函數(shù)解析式是關鍵．