Question

10．設(shè)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上的意一點(diǎn)，點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為d₁，d₂，則（　�。�

• A． d₁+d₂=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• B． d₁•d₂=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• C． d₁+d₂=$\frac{4}{5}$
• D． d₁•d₂=$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 先確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P（x，y），求出點(diǎn)P到兩條漸近線的距離，結(jié)合P在雙曲線C上，即可求d₁•d₂的值．

解答 解：由條件可知：兩條漸近線分別為x±2y=0
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P（x，y），
則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為d₁=$\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$，d₂=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$
所以d₁•d₂=$\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$•$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{x}^{2}-4{y}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，求出點(diǎn)P到兩條漸近線的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．