Question

1．某建筑的金屬支架如圖所示，根據要求AB至少長2.8米，C為AB的中點，B到D的距離比CD的長小0.5米，$∠BCD=\frac{π}{3}$，若建筑支架各部分的材料每米的價格已確定，且AB部分的價格是CD部分價格的兩倍．設BC=x米，CD=y米．
（1）求y關于x的函數；
（2）問怎樣設計AB的長，可使建造這個支架的成本最低？

Answer 1

分析 （1）由題意 BC=x，CD=y．連結BD，在△CDB中，利用余弦定理可得：化簡整理即可得出：$y=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}$．（x≥1.4）
（2）設金屬支架CD每米價格為a元，金屬支架AB每米價格為2a元，則總成本為y•a+2x•（2a）=a（y+4x）$y+4x=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}+4x$，設$t=x-1，t≥\frac{2.8}{2}-1=0.4$，換元變形利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意 BC=x，CD=y．
連結BD，則在△CDB中，${（y-\frac{1}{2}）^2}={y^2}+{x^2}-2xycos\frac{π}{3}$，
整理得：$y=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}$．（x≥1.4）
（2）設金屬支架CD每米價格為a元，金屬支架AB每米價格為2a元，
則總成本為y•a+2x•（2a）=a（y+4x）$y+4x=\frac{{{x^2}-\frac{1}{4}}}{x-1}+4x$，
設$t=x-1，t≥\frac{2.8}{2}-1=0.4$，
則$y+4x=5t+\frac{3}{4t}+6$，
令$g（t）=5t+\frac{3}{4t}+6$，在[0.4，+∞）上單調增，
所以當t=0.4時，即x=1.4時，取得最小值．
答：當AB=2.8m時，建造這個支架的成本最低．

點評 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．