Question

7．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)．若P是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線x=ky-1與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（A′與B不重合）．則直線A′B與x軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫(xiě)出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)（m，n），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及兩點(diǎn)的距離的含義，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可得b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，則A′的坐標(biāo)可推斷出，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達(dá)式，把x₁=ky₁-1，x₂=ky₂-1代入求得x=-4，進(jìn)而可推斷出直線A′B與x軸交于定點(diǎn)（-4，0）．

解答 解：（1）設(shè)P（m，n），由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}$=1
可得，F(xiàn)₁（-$\sqrt{4-b}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{4-b}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{4-b}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{4-b}$-m，-n），
可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=m²+n²-（4-b），
由m²+n²表示原點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的距離的平方，
可得x軸上的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最大，
即有4-（4-b）=1，解得b=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得（ky-1）²+4y²=4，即（k²+4）y²-2ky-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）．
令y=0，則x=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）{y}_{1}+{x}_{1}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵x₁=ky₁-1，x₂=ky₂-1．
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{（k{y}_{2}-1）{y}_{1}+（k{y}_{1}-1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2k{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
=$\frac{2k•\frac{-3}{4+{k}^{2}}-\frac{2k}{4+{k}^{2}}}{\frac{2k}{4+{k}^{2}}}$=-4．
這說(shuō)明，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．