Question

8．已知P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3，…）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1右支上的一點，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的左右焦點，且滿足P₁F₂⊥F₁F₂，|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，則|P₂₅F₂|的值為$\frac{71}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，知|P_nF₁|=d×e=$\frac{3}{2}$|x_n+$\frac{4}{3}$|，|P_n+1F₂|=$\frac{3}{2}$|x_n+1-$\frac{4}{3}$|，利用P₁F₂⊥F₁F₂，|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，求出x₂₅．即可得出結(jié)論．

解答 解：依題意，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，
它的離心率：e=$\frac{3}{2}$，準線方程為：x=±$\frac{4}{3}$．焦點坐標（±3，0）．
設(shè)點P_n到左準線的距離為d，
根據(jù)雙曲線的第二定義得：|P_nF₁|=d×e=$\frac{3}{2}$|x_n+$\frac{4}{3}$|，
同理：|P_n+1F₂|=$\frac{3}{2}$|x_n+1-$\frac{4}{3}$|，
因為|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
所以x_n+1=x_n+$\frac{8}{3}$，數(shù)列{x_n}構(gòu)成一個等差數(shù)列，
又P₁F₂⊥F₁F₂，
∴x₁=c=3，
∴x_n=3+$\frac{8}{3}$（n-1），
∴x₂₅=67，
∴|P₂₅F₂|=$\frac{71}{2}$．
故答案為：$\frac{71}{2}$．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)、等差數(shù)列的判斷，屬于圓錐曲線與數(shù)列的綜合題．