Question

10．已知函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），若不等式f（mx）+f（x²-2）＞0對(duì)任意的x∈[-1，1]恒成立，則m的取值范圍為-1＜m＜1．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，式子整理為x²+mx-2＜0對(duì)任意的x∈[-1，1]恒成立，
利用二次函數(shù)圖形和性質(zhì)可得：1-m-2＜0，1+m-2＜0，進(jìn)而求出m的范圍．

解答 解：f（x）=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），定義域?yàn)镽，且為減函數(shù)，
∵f（-x）=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（mx）+f（x²-2）＞0，
∴f（mx）＞f（-x²+2），
∴mx＜-x²+2對(duì)任意的x∈[-1，1]恒成立，
∴x²+mx-2＜0對(duì)任意的x∈[-1，1]恒成立，
∴1-m-2＜0，1+m-2＜0，
∴m的取值范圍為-1＜m＜1．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)的奇偶性和二次函數(shù)的性質(zhì)．難點(diǎn)是用函數(shù)的奇偶性對(duì)不等式變形．