Question

17．設函數f（x）=（x-1）|x-a|+1（a＞0），若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，則實數a的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 由題意可得（x-1）|x-a|≥-1在[0，+∞）上恒成立，當x≥1時，成立；當0≤x＜1時，即有|x-a|≤$\frac{1}{1-x}$，即為-x-$\frac{1}{1-x}$≤-a≤$\frac{1}{1-x}$-x，運用導數判斷單調性，求得最值，即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即為
（x-1）|x-a|≥-1在[0，+∞）上恒成立，
當x≥1時，（x-1）|x-a|≥0＞-1恒成立；
當0≤x＜1時，即有|x-a|≤$\frac{1}{1-x}$，
即為-x-$\frac{1}{1-x}$≤-a≤$\frac{1}{1-x}$-x，
由y=-x-$\frac{1}{1-x}$的導數為-1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＜0，函數y遞減，
即有-a≥0，即a≤0；
由y=$\frac{1}{1-x}$-x的導數為y′=-1+$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＞0，函數y遞增，
即有-a≤1，即a≥-1．
綜上可得a的范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，以及分離參數和函數的最值的求法，屬于中檔題．