Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若雙曲線C的右支上存在一點(diǎn)P，使得（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=λ|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，則實(shí)數(shù)λ等于（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$，m），由（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0解出 m，根據(jù)雙曲線的第二定義得e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{3\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}-\frac{9}{\sqrt{17}}}$，求出|PF₂|的值，再利用第一定義求出|PF₁|的值，即得λ值．

解答 解：由題意得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
∴c=$\sqrt{17}$，F(xiàn)₁（-$\sqrt{17}$，0），F(xiàn)₂ （$\sqrt{17}$，0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
設(shè)點(diǎn)P（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$，m），
∵（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$+$\sqrt{17}$，m）•（3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$-$\sqrt{17}$，m）
=9（1+$\frac{{m}^{2}}{8}$）-17+m²=0，
m²=$\frac{64}{17}$，m=±$\frac{8\sqrt{17}}{17}$．
由雙曲線的第二定義得 e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{3\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}-\frac{9}{\sqrt{17}}}$，
∴|PF₂|=2，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=8，∴λ=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$═4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．