Question

6．若方程$\sqrt{4x-{x^2}}=\frac{3}{4}x+m$有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是[-3，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，則等價(jià)為（x-2）²+y²=4，（y≥0）對(duì)應(yīng)的根據(jù)為圓的上半部分，
設(shè)y=$\frac{3}{4}$x+m，即3x-4y+4m=0
作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0）時(shí)，滿足條件，
此時(shí)$\frac{3}{4}$×4+m=0，得m=-3，
當(dāng)直線和圓相切時(shí)（m＞0），
圓心到直線的距離d=$\frac{|6+4m|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=2$，
即$\frac{|3+2m|}{5}=1$，則|2m+3|=5
得m=1或m=-4（舍），
故要使方程$\sqrt{4x-{x^2}}=\frac{3}{4}x+m$有實(shí)數(shù)解，
則-3≤m≤1，
故答案為：[-3，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷．