Question

4．李克強(qiáng)總理在很多重大場合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”．某創(chuàng)客，白手起家，2015年一月初向銀行貸款十萬元做創(chuàng)業(yè)資金，每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%．每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額（包括本金和利潤）的10%，每月的生活費(fèi)等開支為3000元，余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營．如此每月循環(huán)繼續(xù)．
（1）問到2015年年底（按照12個(gè)月計(jì)算），該創(chuàng)客有余款多少元？（結(jié)果保留至整數(shù)元）
（2）如果銀行貸款的年利率為5%，問該創(chuàng)客一年（12個(gè)月）能否還清銀行貸款？

Answer 1

分析 （1）法1：設(shè)n個(gè)月的余款為a_n，求出a₁，a₂，兩邊求出a₁₂．
法2：通過a₁，得到a_n與a_n-1的關(guān)系式，構(gòu)造{a_n+c}是等比數(shù)列，然后求解a₁₂≈．
（2）利用數(shù)值比較大小，判斷能還清銀行貸款．

解答 解：法1：（1）設(shè)n個(gè)月的余款為a_n，則a₁=100000×1.2×0.9-3000=105000，${a_2}=100000×{1.2^2}×{0.9^2}-3000×1.2×0.9-3000=110400$，
…
${a_{12}}=100000×{1.2^{12}}×{0.9^{12}}-3000×{1.2^{11}}×{0.9^{11}}-…-3000$，
=$100000×{1.2^{12}}×{0.9^{12}}-3000×\frac{{[1-{{（1.2×0.9）}^{12}}]}}{1-1.2×0.9}≈194890$（元），
法2：a₁=100000×1.2×0.9-3000=105000，
一般的，a_n=a_n-1•1.2•0.9-3000，
構(gòu)造a_n+c=1.2×0.9（a_n-1+c），c=-37500${a_n}-37500=（105000-37500）{（1.2×0.9）^{n-1}}$${a_n}=37500+67500×{1.08^{n-1}}$，a₁₂≈194890．
（2）194890-100000×1.05=89890（元），
能還清銀行貸款．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列以及等比數(shù)列類比推理的應(yīng)用，也可以用a_k+1-a_k=1.2×0.9（a_k-a_k-1）通過等比數(shù)列求和解決．考查分析問題解決問題的能力．