Question

10．某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為$\frac{2}{3}$，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為$\frac{2}{5}$，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，分別求兩種方案下小明、小紅累計(jì)得分的分布列，并指出他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

分析 （1）由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{3}$，小紅中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{5}$，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三個(gè)兩兩互斥的事件，由此能求出這2人的累計(jì)得分X≤3的概率．
（2）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X₁，由已知得X₁的所有可能取值為0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X₁的分布列和E（X₁）；小明、小紅都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X₂，由已知得X₂的所有可能取值為0，3，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X₂的分布列和E（X₂），從而得到他們都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{3}$，小紅中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{5}$，
且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，
則事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三個(gè)兩兩互斥的事件，…（1分）
因?yàn)镻（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{15}$，
所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=$\frac{11}{15}$，
即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為$\frac{11}{15}$．…（5分）
（2）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X₁，由已知得X₁的所有可能取值為0，2，4，
P（X₁=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（X₁=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（X₁=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴X₁的分布列如下：

X1	0	2	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

E（X₁）=0×$\frac{1}{9}$+2×$\frac{4}{9}$+4×$\frac{4}{9}$=$\frac{8}{3}$，…（9分）
小明、小紅都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X₂，由已知得X₂的所有可能取值為0，3，6，
P（X₂=0）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{25}$，
P（X₂=3）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$，
P（X₂=6）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{25}$，
∴X₂的分布列如下：

X2	0	3	6
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

E（X₂）=0×$\frac{9}{25}$+3×$\frac{12}{25}$+6×$\frac{4}{25}$=$\frac{12}{5}$．…（11分）
∵E（X₁）＞E（X₂），
∴他們都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．