Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，B₁C₁的中點，則直線BE與直線CF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出直線BE與直線CF所成角的余弦值．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，B₁C₁的中點，
∴以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
B（2，0，0），E（1，0，2），C（0，2，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），F(xiàn)（1，1，2），
$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{CF}$=（1，-1，2），
設異面直線BE與直線CF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴直線BE與直線CF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

點評 本題考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．