Question

4．△ABC中，∠A=90°，BC=2，點A是線段EF中點，EF=2，則$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為45°，則$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 在△BEF中，運用余弦定理可得BE，cos∠EBF，則$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FB}$=-$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BF}$，由向量的數(shù)量積的定義，計算即可得到所求．

解答 解：在△BEF中，BF=1，EF=2，∠BFE=45°，
即有BE²=BF²+EF²-2BF•EF•cos45°=1+4-2×1×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=5-2$\sqrt{2}$，
cos∠EBF=$\frac{B{E}^{2}+B{F}^{2}-E{F}^{2}}{2BE•BF}$=$\frac{5-2\sqrt{2}+1-4}{2\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$
=$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$，
即有$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{FB}$=-$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BF}$
=-$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$•1•$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．