Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距是2，離心率是$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=x+1與橢圓C相交于點P，Q，試求出線段PQ的中點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓的方程；
（2）將直線方程y=x+1代入橢圓方程3x²+4y²=12，運用韋達定理和中點坐標公式，即可得到所求M的坐標．

解答 解：（1）由題意可得2c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）將直線方程y=x+1代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得7x²+8x-8=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，
可得PQ的中點的橫坐標為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4}{7}$，
即有縱坐標為1-$\frac{4}{7}$=$\frac{3}{7}$，
則線段PQ的中點M的坐標為（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查運算能力，屬于基礎題．