Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°AB=AC=2，AA₁=3．
（Ⅰ）過(guò)BC的截面交AA₁于P點(diǎn)，若△PBC為等邊三角形，求出點(diǎn)P的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，求四棱錐P-BCC₁B₁與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理求解三角形的邊長(zhǎng)，推出P的位置．
（Ⅱ）求出四棱錐P-BCC₁B₁與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，即可得到比值．

解答 解：（Ⅰ）由題意$PC=PB=2\sqrt{2}$，（2分）
在三棱柱中，由AA₁⊥平面ABC，且AB=AC=2
可得：PA=2，（4分）
故點(diǎn)P的位置為AA₁的三等分點(diǎn)，且靠近A₁處．              （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{2}×2×2×3=6$，（7分）
${V_{P-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$（8分）
${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$，（9分）
所以${V_{P-BC{C_1}{B_1}}}=6-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=4$，
所以所求兩個(gè)幾何體的體積比為$\frac{2}{3}$． （12分）
故答案為：（Ⅰ）點(diǎn)P的位置為AA₁的三等分點(diǎn)，且靠近A₁處；（Ⅱ）體積比為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的計(jì)算，直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，判斷計(jì)算能力．