Question

14．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，a₁=b₁=1，且數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n=k-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$（k是常數(shù)，n∈N^*）．
（1）求k值，并求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}為公差為d的等差數(shù)列，{b_n}為公比為q的等比數(shù)列，令n=1時(shí)，求出k=4，再由n=2，3，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d，q，再由n=4，可得d=1，q=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}為公差為d的等差數(shù)列，
{b_n}為公比為q的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n=k-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1=k-3，解得k=4；
當(dāng)n=2時(shí)，1+（1+d）q=4-$\frac{4}{2}$=2，
當(dāng)n=3時(shí)，1+（1+d）q+（1+2d）q²=4-$\frac{5}{4}$=$\frac{11}{4}$，
解方程可得d=1，q=$\frac{1}{2}$或d=-$\frac{1}{3}$，q=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)n=4時(shí)，$\frac{11}{4}$+（1+3d）q³=4-$\frac{6}{8}$=$\frac{13}{4}$，
對(duì)d=1，q=$\frac{1}{2}$成立；
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n，b_n=b₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
即有前n項(xiàng)和T_n=4n-（3+$\frac{4}{2}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$），
由M_n=3+$\frac{4}{2}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$M_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{4}$+$\frac{5}{8}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
相減可得，$\frac{1}{2}$M_n=3+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
=3+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
即有M_n=8-$\frac{n+4}{{2}^{n-1}}$．
則T_n=4n-8+$\frac{n+4}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．