Question

5．已知兩圓C₁：x²+2x+y²-48=0，C₂：x²-2x+y²=0，若動圓P與圓C₁相內(nèi)切，與圓C₂相外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程．
（2）若直線1：（k+1）x+（k-1）y+（2k+2）=0，判斷直線1與動圓圓心P所在曲線的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動圓的半徑為r，由已知得到動圓圓心滿足到兩定圓的圓心的距離和為定值，且大于兩定圓的圓心距，由題意定義得答案．
（2）確定直線過定點，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)動圓的半徑為r，根據(jù)題意，|PC₁|=7-r，|PC₂|=1+r，
∴|PC₁|+|PC₂|=8，即2a=8，a=4．
又|C₁C₂|=2，2c=2，c=1，
∴b²=16-1=15．
∴圓心P的軌跡為橢圓，其方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}=1$；
（2）直線1：（k+1）x+（k-1）y+（2k+2）=0，可化為k（x+y+2）+（x-y+2）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，∴x=-2，y=0，
即直線l過定點（-2，0），
∵（-2，0）在橢圓內(nèi)，
∴直線l與橢圓相交．

點評 本題考查了兩圓間的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓的定義及標準方程，考查直線過定點，是中檔題．