Question

15．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與x軸、y軸正半軸分別交于點A、B，點C是橢圓上位于第一象限的點，則四邊形OACB面積的最大值為$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)C（5cosα，3sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），由四邊形OACB面積為S=S_△OBC+S_△OAC═$\frac{15}{2}$（cosα+sinα），由兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的最值，可得最大值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=5，b=3，
可設(shè)C（5cosα，3sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
即有A（5，0），B（0，3），
四邊形OACB面積為S=S_△OBC+S_△OAC
=$\frac{1}{2}$•3•5cosα+$\frac{1}{2}$•5•3sinα
=$\frac{15}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時取得最大值，且為$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運用，考查三角函數(shù)的最值的求法，注意運用正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．